No es así en absoluto. No existen acuerdos de doble nacionalidad pero eso no impide tener dos nacionalidades. Los ciudadanos de EEUU pueden adquirir otra nacionalidad sin tener que renunciar a la estadounidense sin ningún problema. Lo pone bien claro en la web del Departamento de Estado
Ver el archivo adjunto 3103354e
Y en cuanto a los españoles, cuando adquirimos una nacionalidad de un país con el que no hay tratado de doble nacionalidad, teoricamente perdemos la española, pero tenemos un plazo de 3 años para ir al consulado a hacer el trámite de mantenimiento de la nacionalidad española. Es un trámite sencillisimo, solo firmar un papel y ya está.