Como bien han dicho ya, que luego un poco tarde

, para limpiar el protector solar es mejor uno de aceite también, y es que en teoría es menos agresivo para la piel que por ejemplo un agua micelar restregada con un algodón (que es lo que menos se recomienda actualmente), ya que con el aceite eliminas la suciedad sin frotar y por tanto sin tocar la barrera de la piel ya que la porquería se adhiriere por afinidad al ser particulas con la misma naturaleza (grasa se une con grasa).
Yo desde que empecé a cuidarme bien la cara, ha sido un antes y un después, haciendo la doble limpieza junto con el uso de activos adecuados a mi tipo de piel, como la vitamina C (un MUST para todo tipo de piel, ya que además de ayudar contra el envejecimiento, potencia la eficacia del protector solar aplicándolo justo antes) y la niacinamida (que es seboreguladora), una crema restauradora de la barrera (para ayudar con las rojeces y el picor porque la debía de tener fatal y muy deshidratada y de vez en cuando necesito darle ese aporte a la piel), algún exfoliante químico suave y también he empezado con retinoides que con 40 años ya va haciendo falta (en mi caso opté por retinal que es más suave que el retinol).
He pasado de tener una piel super grasa (de levantarme de dormir con la zona de la nariz y frente chorretosa) y la cara roja con picores (de la ducha salía con la cara roja roja como un tomate...), a no tener apenas brillos de grasa y tener bastante bajo control las rojeces. Y eso que no soy nada constante! porque muchos días no hago nada nada más que sobrevivir con un niño de 3 años
No se si dices lo de que te da respeto el aceite por lo que has puesto después de que a veces te sale mucha grasa con algunos productos, si es por eso no tengas el mínimo miedo, porque ya te digo que no afecta el absoluto usando uno que vaya bien con tu tío de piel. Muchas veces limpiadores normales para eliminar la grasa, al final son más agresivos y tienen efecto rebote provocando más aún porque es como si la piel intentara defenderse.
En tu caso, si dices que te pica los ojos con nada buscaría productos que no lleven perfumes, que seguro que es lo que te perjudica, normalmente los indicados para piel atópica no los llevan.
En mi lista si no recuerdo mal hay varios porque iba fijándome sobretodo en los que eran para pieles sensibles por las rojeces, y por lo menos tanto el aceite limpiador como el gel de la línea Bioderma Sensibio no lleva perfumes y son super suaves.
También hay un hilo por aquí que se llama "cosmética general, productos, rutinas..." o algo así, por si quieres profundizar en el tema o preguntar dudas.